陳曉松¹  樊京芳¹  劉卯鑫²

1.北京師范大學系統科學學院；2.北京郵電大學理學院

2021年諾貝爾物理學獎授予了三位科學家，分別是美籍日裔科學家真鍋淑郎、德國科學家克勞斯·哈塞爾曼和意大利科學家喬治·帕里西，以表彰他們“對我們理解復雜物理系統的開創性貢獻”。這標志著人類對世界的探索，已從還原論為主導，逐步過渡到與復雜性研究并重的新階段。

將研究對象還原成多個組成部分及個體，是還原論的核心思想和理念。它基于對個體的深入研究，從而掌握和理解研究對象整體的性質與行為。還原論思想可以追溯到古希臘時期。古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯(約公元前580~前500)認為世界萬物由“數”及“幾何點”構成。后來，希臘哲學家德謨克利特(約公元前460~前370)將幾何點與原子概念結合起來，認為世界由原子與虛空構成，萬物由原子演化而來。

德國天文學家開普勒深受畢達哥拉斯的影響，堅信世界按照完美的數學原則來構造，以數學的和諧來探索宇宙體系，發現了行星運動的三大規律，為牛頓創立天體力學理論奠定了基礎。18到19世紀，牛頓力學的盛行使得還原論達到了一個高峰。20世紀，以原子結構的研究以及微觀粒子的探索為標志，還原論指導下的科學研究達到了一個頂峰，建立了量子力學、粒子物理和標準模型等物理學基本理論。

但是，大量個體構成復雜系統的行為，并不是個體性質的簡單之和，會呈現關聯、合作、涌現等集體行為。正如1977年諾貝爾物理學獎獲得者安德森1972年在標題為“More isdifferent”的Science文章中所表述的那樣，將萬事萬物還原成簡單的基本規律，并不意味著從這些規律出發能夠重建宇宙。不能依據少數個體的性質簡單外推出多個體復雜系統的行為。相反，復雜系統在不同層次會呈現全新的性質，研究和理解此類涌現行為，就其基礎性而言，與其他研究相比毫不遜色。

復雜系統普遍存在于自然界和人類社會，從復雜物理系統到生物系統、生態系統、網絡系統、社會經濟系統等。大腦作為海量神經元組成的復雜系統，其感知和記憶功能等涉及系統的集體和涌現行為。進一步，人類的認知與教育活動，也涉及各類復雜性，教育已被作為復雜系統來進行研究。在還原論思想指導下，一方面科學取得了巨大的進步與發展，另一方面也使得學科越分越細，科學家在非常狹窄的領域知道得越來越多，造成了科學信息的過載和流動壁壘，許多研究領域的局限性越來越顯著，發展遇到瓶頸，迫切需要發展從個體性質獲得系統整體性質的復雜性科學。

復雜性科學興起于20世紀80年代，致力于研究復雜系統的結構與功能關系，以及演化和調控規律，是一門新興的交叉性、綜合性學科，也是當代科學發展的前沿領域之一。20世紀80年代初，包括1969年諾貝爾物理學獎獲得者蓋爾曼在內的一批不同領域杰出科學家在美國新墨西哥州成立的從事跨學科研究的圣塔菲研究所，是復雜性科學興起的一個標志性事件。后來，該研究所一直能聚集一批又一批從事物理、經濟、生物和計算機科學的研究人員，一起合作開展跨學科的復雜性科學研究。

復雜系統科學的發展，不僅能夠帶來自然科學的變革，彌補人類對自己所處宏觀尺度科學規律認識的不足，而且可以滲透到社會復雜系統及社會科學的研究。英國著名理論物理學家霍金在2000年曾表示：“21世紀是復雜性科學的世紀”。復雜性科學以不同領域的復雜系統為研究對象，從系統和整體的角度，探索復雜系統的性質和演化規律，目的是揭示各種系統的共性及演化過程遵循的共同規律，發展優化和調控系統的方法，為復雜性科學在物理系統、地球系統、社會經濟系統、生物系統及醫學等領域的應用提供理論依據，以應對當前自然和社會各方面的巨大挑戰，是人類當前需大力發展的前沿科學領域。

依據系統個體的性質及其相互作用推算出系統整體的行為和特性，是物理學重要分支——統計物理承擔的使命。作為統計物理學基礎的氣體動力學理論萌芽于18世紀。瑞士科學家伯努利那時就將氣體看作運動的粒子，并導出了氣體的壓強公式。19世紀中葉，德國物理學家克勞修斯發表了兩篇氣體動力學的奠基性文章，引入概率和統計方法研究氣體系統，提出了氣體分子平均自由程的概念。在這些研究的基礎之上，英國物理學家麥克斯韋導出了氣體分子速率的分布函數。受麥克斯韋工作的啟示，奧地利物理學家玻爾茲曼擴展了氣體分子的分布函數，進一步發展了氣體動力學理論，給出了熱力學第二定律的統計解釋及熵的概率表示。

氣體動力學理論發展到統計物理學，雖然都采用概率和統計方法，但應用的對象有一個關鍵性的跨越。氣體動力學考慮分子狀態的概率分布，而統計物理學討論系統全部分子狀態集合的概率分布，這個跨越由美國物理學家吉布斯于19世紀末至20世紀初實現。在吉布斯建立的系綜理論中，直接研究系統的微觀態，即系統全部個體狀態的集合。一個微觀態可用一個高維矢量來表示，對應于相應高維相空間中的一個點。在一定宏觀條件下，系統微觀態的集合就構成了相空間中的一個系綜，并用微觀態概率分布函數來描述。原則上，采用微觀態概率分布函數進行系綜平均可得到系統的宏觀性質。吉布斯建立統計力學的相關工作最終被總結在1902年出版的Elementary Principles in Statistical Mechanics一書。

一般來說，系統微觀態概率分布函數是未知的。但當系統處于平衡態的時候，吉布斯給出了如下三種不同物理條件下的微觀態概率分布函數：1)在粒子數N、體積V、能量E固定的條件下，得到平衡態系統的微正則系綜，其微觀態概率分布函數為常數；2)在粒子數N、體積V、溫度T固定的條件下，得到平衡態系統的正則系綜，其微觀態概率分布函數正比于exp (-E/k_BT)，這里k_B為玻爾茲曼常數；3)在體積V、溫度T、化學勢μ固定的條件下，得到平衡態系統的巨正則系綜，其微觀態概率分布函數正比于exp (-E/k_BT+μN/k_BT)。在系統能量函數及哈密爾頓量已知的情況下，利用上述微觀態概率分布函數可以計算系統的平衡態熱力學性質。

上述對統計物理學建立做出了巨大貢獻的科學巨匠們，克勞修斯和麥克斯韋的工作完全屬于氣體動力學理論，玻爾茲曼的研究已居于氣體動力學理論與統計物理學之間，吉布斯的研究則完全屬于統計物理學，他建立起了統計物理學的理論框架。特別還想指出的是，愛因斯坦在1905物理學奇跡年發表五篇意義非凡的論文之前，1902到1904年他連續在當時著名的德語物理雜志Annalen der Physik上發表了三篇文章，分別討論熱平衡和熱力學第二定律的動力學理論、熱力學的基礎和熱的一般分子理論。愛因斯坦這三篇文章不僅為他1905年兩篇關于光量子和布朗運動的論文奠定了基礎，而且被認為已經包含了建立統計力學的基本構想。那么，為什么會很少人閱讀了愛因斯坦的這些文章且低估了他對統計力學建立的貢獻？這個狀況實際由愛因斯坦自己造成的，他自認為吉布斯的統計力學理論框架要優于他的，而且在與同行書信討論中非常明確地予以表述。吉布斯被愛因斯坦稱為“美國歷史上最偉大的頭腦”。

但是，愛因斯坦對統計物理學的貢獻還在繼續，1910年他提出了臨界現象中的臨界乳光理論，1924年發表論文預言：玻色子冷卻至非常低溫時，會凝聚到能量最低的量子態，因此會出現一種新的物態和相變，被稱為玻色–愛因斯坦凝聚態和相變，提出了一種全新的相變和臨界現象。

在不同物理條件下，大量個體組成的系統會呈現不同的相。例如，簡單原子、分子組成的系統在不同溫度和壓強下，會形成氣相、液相和固相等。一些特殊原子、分子還會形成鐵磁、鐵電、超導、超流等物相。荷蘭物理學家范德瓦爾斯1873年在其博士論文提出的氣體狀態方程，能夠定性描述氣液相變，為此獲得第一個理論方面的諾貝爾物理學獎。著名理論物理學家朗道提出相變由被稱為序參量的特征量描述。根據序參量在相變點的變化特性，相變被分為不連續和連續兩類。當序參量在相變點有一個跳躍時，系統發生不連續相變。連續相變又被稱為臨界現象，其序參量在相變點連續變化，但系統關聯長度會趨于無窮大，從而熱力學量趨于無窮大或出現奇異性，系統呈現引人入勝的奇妙現象。例如，原來透明的氣體或液體，在接近臨界點的時候，會產生臨界乳光，呈現一片乳白色。熱力學量在臨界點附近具有標度性和普適性。

1920年，德國物理學家Wilhelm Lenz為了研究鐵磁相變，提出了系統哈密頓量如下的模型

這里s_i=±1表示磁性分子的自旋，處于最近鄰的磁性分子之間存在鐵磁相互作用，即自旋相同時的能量為–J，相反時的能量為J。1925年，Lenz教授的學生伊辛在其博士論文中研究了此模型，并得到一維情形的精確解。這個后來被人們冠名為伊辛模型的統計力學模型，是被研究最多的物理模型。1944年，美國物理學家拉斯·昂薩格得到了無外場二維伊辛模型的解析解，以及該模型連續相變的臨界指數精確值，對相變與臨界現象研究的發展起到了里程碑式的作用。

伊辛模型是一個完全理想化的模型，系統的個體規則地分布在晶格上，且具有完全相同的相互作用。但是，實際的物理系統一般不是這樣，充滿著無序性。例如，自然界中廣泛存在的非晶態物質，它們展示豐富多彩的各種物質形態。為了研究無序系統，1975年著名物理學家Edwards和Anderson提出了自旋玻璃模型(EA模型)

其中，處于最近鄰的自旋s_i與s_j有相互作用J_ij，它是一個隨機變量，其概率分布為服從高斯分布。J_ij可正可負，系統中同時存在鐵磁和反鐵磁相互作用，阻挫(frustration，也即令人沮喪之物景)常會出現，此時系統將存在大量的亞穩態。如同帕里西等人在介紹自旋玻璃的著作中寫道，研究自旋玻璃就像觀看莎士比亞戲劇中的人類悲劇。如果你想同時與兩個人交朋友，但他們彼此討厭，那可能會令人沮喪。

如果自旋之間相互作用是有無限長程的，即每個自旋與系統其他自旋都有相互作用，EA模型就成為平均場自旋玻璃模型(SK模型)。

根據朗道的相變理論，相變由序參量表征。若存在無序，序參量將變得非常復雜。基于Edwards和Anderson提出的復本技巧，帕里西對自旋玻璃模型(2)引入了一個新的序參量，即純態α和β交疊序參量

其中

表示第α個復本中第i個自旋的局域磁化強度。如果α=β，公式(3)就給出了Edwards-Anderson序參量q_EA。

一般情況下，q_αβ是一個n×n的矩陣，被稱為交疊矩陣。為了計算自由能，采用鞍點方法，需要找到一個q_αβ矩陣使得自由能函數取極值(一階導數為零)。這意味著需要求解n×(n-1)/2個方程(q_αβ矩陣是對稱的)。直接解析求解這么多方程幾乎是不可能的，必須理論上假設q_αβ的形式以簡化計算。最簡單的假設就是所謂的復本對稱(，即交換復本不會改變q_αβ矩陣。在復本對稱假設下，只有一個獨立序參量，即q_αβ=q。帕里西的重要貢獻之一是基于復本理論精確求解了SK模型，得到了H的極小值為H= -0.7633N^3/2。

帕里西對于自旋玻璃模式嚴格求解的理論和思維已被廣泛地應用在很多無序體系，包括玻璃化轉變、物種的進化、人腦的建模、機器學習模型等，可以幫助全局性地理解復雜系統中無序與漲落的相互作用。

喬治·帕里西是意大利理論物理學家，1948年出生于羅馬，1970年在尼古拉·卡比博教授指導下取得羅馬大學物理學博士學位。他擁有意大利猞猁之眼國家科學院院士、法國科學院外籍院士和美國國家科學院院士等頭銜，研究領域為量子場論、統計力學和復雜系統。由于帕里西在物理學多個領域的重要貢獻，2021年獲諾貝爾物理學獎之前，他曾獲得：1992年玻爾茲曼獎、1999年狄拉克獎章、2002年費米獎、2005年海涅曼數學物理獎、2011年普朗克獎章、2016年昂薩格獎、2021年沃爾夫獎等重要獎項。

帕里西教授在中國改革開放之初就與中國結緣。1980年春訪問中國科學院理論物理研究所，與吳詠時教授合作用統計物理思想和方法研究量子場論，理解量子化和量子漲落。他們的合作論文發表在《中國科學》，在國際粒子物理學界引起了重大反響，被同行稱為隨機量子化。

對于一般性的復雜系統，可能會遇到三個方面的巨大挑戰。首先，系統微觀動力學難以用哈密頓力學描述；其次，若系統不處在平衡態，其微觀態概率分布函數未知；再次，復雜系統序參量一般難以先驗確定。

為了應對上述三個方面的挑戰，最近我們提出了系綜本征微觀態理論。既采用了吉布斯的系綜概念，同時借鑒了愛因斯坦的玻色–愛因斯坦凝聚思想。

經過一段時間對個體數目為N系統的觀測，我們可獲得所有個體在M個時刻的狀態，從而定義系統的M個微觀態。利用這些微觀態，我們可以構造系統的系綜采樣，用一個N×M歸一化矩陣A表示。A矩陣的列對應于微觀態，行對應于個體狀態的時間序列。

利用奇異值分解方法，系綜矩陣A可分解為

這里r=min(M,N)，

U_I是本征微觀態，其概率振幅為σ_I，它隨時間的演化由V_I描述。

本征微觀態屬于介觀層次的狀態量，當沒有本征微觀態起主導作用時，所有概率振幅都非常小。假如某個概率振幅σ_I變成有限，如同玻色氣體的玻色–愛因斯坦凝聚，這里出現本征微觀態U_I凝聚，系統發生相變，序參量為σ_I。

盡管本征微觀態理論提出的動機是為了研究一般性的復雜系統，但同樣適用于傳統的物理系統。該理論已成功應用于研究伊辛模型的平衡態相變，以及一些復雜非平衡系統：全球溫度系統、大氣臭氧空間分布及演化和群體運動中的非平衡相變。

地球可看作是一個典型的自適應復雜系統，由大氣圈、水圈、冰凍圈、巖石圈和生物圈這五大圈層構成，圈層之間通過物理、化學和生物過程進行相互作用，如圖1所展示。

圖1復雜地球系統最基本的組成元素及相互作用(圖片來自于IPCC第四次報告)

其中，地球氣候系統的研究主要有兩個方面：

1)實驗觀測；2)氣候模式。由實驗觀測可獲得氣候系統的大數據，包括儀器觀測(氣象站點、衛星等)數據、再分析數據(ECMWF、NCEP-NCAR和JRA等)以及通過珊瑚記錄、樹木年輪和冰芯記錄等獲取的數據。氣候模式基于物理、化學及生物過程計算模擬各種氣候現象，包含了復雜的動力學過程、熱力學過程和物理化學過程的數學模型，基于歷史或當前觀測數據來模擬和預測氣候系統的演化。不僅可用來分析和理解一些氣候現象及整個地球氣候系統的物理學機制，還可模擬和預測全球氣候變化背景下氣候系統的演化方向等。氣候模式的開發通常依賴于經典物理學、計算數學、計算機和大氣動力學的逐步發展和持續積累。真鍋淑郎和克勞斯·哈塞爾曼就是因“對地球氣候的物理建模、量化可變性和可靠地預測全球變暖”而共同獲得2021年諾貝爾物理學獎的一半。

隨著氣候科學及計算機的發展，陸續產生了大量不同類型的氣候模式。按照模式依據的物理原理，這些氣候模式可分為四大類：分別是能量平衡模式、輻射對流模式、統計動力模式和大氣環流模式。

能量平衡模式又分為零維模式和一維模式。零維模式將地球看作空間的一點，考慮其能量平衡，一維模式對不同緯度帶分別地進行研究。輻射對流模式將地球大氣簡化為一個垂直的大氣柱，研究其內部的輻射過程和垂直方向的溫度分布。此模式基于二個物理機制：1)在任何高度上，太陽輻射及長波輻射通量與對流熱通量保持平衡；2)輻射差異引起的垂直方向溫度分布的變化經對流的調整后達到平衡。統計動力模式是統計與動力學方法相結合的一種模式，用統計方法對某些物理過程做參數化，可以用來研究物理因子如二氧化碳、太陽常數等的作用。大氣環流模式依據物理定律(牛頓力學、各類守恒定律等)及化學方程構造的流體力學和熱力學偏微分方程組，用來模擬大氣環流基本性質和預測氣候變化。

真鍋淑郎是美籍日裔科學家，1931年出生于日本，1958年獲得東京大學理學博士學位。畢業后到美國地球物理流體動力學實驗室工作，目前在普林斯頓大學擔任高級氣象學家。真鍋淑郎畢生致力于研究和開發基于計算機的氣候模式，因建立了真鍋模型并預測全球變暖而聞名。1967年，真鍋淑郎和Wetherald第一次開發出了一維輻射對流模式。為理解二氧化碳水平增加如何導致氣溫升高，真鍋淑郎把空氣團因對流而產生的垂直輸送以及水蒸氣的潛熱納入其中。使用該模型，他們發現，為了響應大氣中二氧化碳濃度的變化，地球表面和對流層的溫度隨著二氧化碳濃度升高而升高，而平流層的溫度則降低。進一步他們發現氧和氮對地表溫度的影響可忽略不計，而二氧化碳的影響則很明顯：當二氧化碳水平翻倍，全球溫度上升超過2攝氏度。根據他們的模擬，二氧化碳若增加一倍(300 ppm加至600 ppm)，全球平均溫度將上升2.36攝氏度。這一結論為日后的IPCC第一次評估報告提供了重要論據。1969年真鍋淑郎和Bryan開發了第一個海洋–大氣耦合環流模式對氣候進行模擬，該模式可以用來研究十年到百年時間尺度的氣候的演化。20世紀90年代，真鍋淑郎研究小組使用耦合大氣海洋模式來研究氣候對大氣中溫室氣體濃度變化的時間依賴性響應。還將該模式應用于研究過去氣候變化，包括在古氣候記錄中揭示北大西洋的淡水注入如何影響氣候突變。

克勞斯·哈塞爾曼是德國海洋學家、氣候學家，德國馬克斯普朗克氣象研究所前所長和漢堡大學名譽教授。1931年出生于德國漢堡，大約3歲時，隨家人移民到英國。18歲高中畢業后回到德國，1955年在漢堡大學獲物理學與數學學士學位，1957年在哥廷根大學和馬克斯普朗克流體動力學研究所獲物理學博士學位。1964年至1975年任漢堡大學地球物理研究所所長及理論地球物理學教授。1975年至1999年創立德國馬克斯普朗克氣象研究所并任所長，期間1988年至1999年，任德國氣候計算中心科學主任。哈塞爾曼的研究興趣廣泛，研究課題包括氣候動力學、隨機過程、海浪、遙感和綜合評估研究。退休之后，他的研究興趣還轉向量子場論等方面。

哈塞爾曼最知名的貢獻是開發了氣候變率的哈塞爾曼模型，其中考慮一個具有長記憶力的系統(如海洋)并整合隨機強迫因素(如大氣)，從而將白噪聲信號轉換為紅噪聲信號，進一步解釋氣候系統中無處不在的紅噪聲信號(例如，涌浪)的發展。

通過隨機氣候模式，哈塞爾曼還開發出可識別人類對氣候系統影響的方法，分離出了自然噪聲和人類活動噪聲的影響。例如，太陽輻射、火山爆發或溫室氣體水平的變化會留下獨特的信號和指紋，可被分離出來。這進一步從科學上證實了人為二氧化碳排放導致了全球變暖的結論。

2021年諾貝爾物理學獎授予復雜物理系統的開創性工作，一半表彰喬治·帕里西“發現了從原子尺度到行星尺度物理系統中的無序和漲落的相互作用”，另一半表彰真鍋淑郎和克勞斯·哈塞爾曼“地球氣候的物理建模，量化可變性并可靠地預測全球變暖”的研究。瑞典皇家科學院宣布結果以后，不少人對這個結果感覺有些意外。但是，我們了解了相關的科學背景以后，還是會覺得此次的諾貝爾物理學獎實至名歸。

回顧諾貝爾物理學獎的歷史，以1901年表彰德國物理學家倫琴發現X射線為開端，早期獎勵的都是實驗發現。1910年才首次授予純理論的工作：荷蘭物理學家范德瓦爾斯的氣體和液體狀態方程。隨著理論物理在物理學發展中起到越來越重要的作用，后來更多理論工作獲得了獎勵，但理論需要得到實驗的完全證實。例如，粒子物理希格斯機制在近50年后實驗發現了希格斯粒子才被授獎。再往后，對科學發展和人類進步起到非常重要作用的實驗手段(云霧室等)和技術(光纖等)也成為被授獎之列。時至今日，與物理學在微觀和宇觀層次取得的巨大進展相比較，對于宏觀層次大量存在的復雜系統，由于系統存在無序、漲落、跨尺度時空耦合等，以及處在不斷演化的非平衡狀態，人類對于復雜系統的認識非常有限。而當前人類迫切需要探索復雜物理系統、氣候系統、社會經濟系統等的科學規律，以應對來自這些方面的巨大挑戰。可以說，今年的諾貝爾物理學獎順應了科學發展的態勢和人類進步的需求，且由于實際復雜系統牽涉多種因素且無法分割，對復雜系統理論的認可也采取了與以前不太一樣的標準。

雖然2021年諾貝爾物理學獎已授予復雜物理系統研究成果，但復雜性科學研究總體仍處于初級階段，方興未艾。展望未來，從復雜物理系統到大腦、認知與教育系統、生物系統、社會與經濟系統、地球系統等，存在大量重要且引人入勝的科學問題亟待人們去探索和研究，為科學的進一步發展提供了新機遇，研究成果也將推動人類社會的發展與進步。同時，挑戰與機遇是并存的。當前學科及領域的劃分非常細，形成了許多科學信息交流的壁壘。而復雜系統研究一般涉及多個學科，必須進行跨學科、跨領域的探索和研究，這就對現有的科研范式及教育模式提出了挑戰，必須進行變革。在各類復雜系統的研究中，復雜地球系統的研究具有比較特別的意義。一方面，全球氣候變暖給人類社會帶來了巨大的挑戰，需在行星尺度下研究和理解地球系統的變化規律，從而采取科學的應對方式。另一方面，借助現代科技手段，人類獲得了地球系統越來越多的觀測數據，已經為挖掘復雜地球系統的科學規律打下了堅實的基礎。當前，物理學家已開始比較關注氣候系統。美國著名的物理學綜述文章期刊Reviews of Modern Physics最近刊發了4篇氣候方面的綜述文章；2021年題為《統計物理方法在復雜地球系統的應用》的綜述文章也發表在歐洲著名的物理學綜述文章期刊Physics Reports上。

物理學的一個重要秉性是致力于尋找不同系統和現象的共性規律，且已取得了巨大的成功，這對復雜系統的研究具有重要的指導意義。未來，復雜系統領域的科學家一定會對各類不同的具體復雜系統進行深入研究，并在此基礎之上，注重探索不同系統的共性，致力于挖掘復雜系統背后蘊藏的簡單規律。