拓撲量子物理研究進展到今天，已成為量子材料甚至量子科技的重要分支領域，雖然它們的內在聯系還在不斷漲落、聯斷。從早期的基本概念與物理圖像構建，到后來大規模計算搜索數據庫的建設，再到后來面向實際應用的選材和性能提升，構成了一幅看起來很合理也很正常的物理征程畫卷。這里，很幸運的是，拓撲量子材料的研究沒有在第一階段或第二階段就夭折殆盡，而是繼續一往無前。特別是，包括一些企業實驗室和工業巨頭在內的學人們也在摩拳擦掌、準備進入這一領域，試圖摘取據說很豐厚的果實和紅利。這是好事情、是新生態。

當然，物理人心里很清楚，攻堅最難的是這第三環節。這里的難度，除了像所有物理新原理及新效應在走向實際應用之路上遭遇的各種艱難險阻外，除了原創性發現和發明那般被萬人追捧外，可能還存在一些本征挑戰與困難。Ising 一貫粗暴橫蠻，牽強附會地說一些物理之外的別樣觀感 (讀者不必介意其嚴謹與否)：

表象上看，拓撲量子材料，以拓撲保護名義下所展現的輸運效應或譜學效應，似乎是一種降維性質。這是什么意思呢？拓撲量子態中最簡單、也最典型的拓撲絕緣體，是最好的例子。作為三維體系，拓撲絕緣體在費米面附近具有非平庸的能帶拓撲性質，表現出反常金屬輸運。但這種反常性質，只出現在樣品表面處，自然是一種降維效應。這表面處的反常輸運，似乎是最值得渲染和利用的。這一降維效應，當然也受晶體對稱性保護，可對局域雜質態不敏感。打破某一對稱性，如打破整體時間反演對稱性 (引入磁性)，體系就會喪失二維金屬表面態，雖然可留下一維邊緣態。那些高階拓撲態，也是如此，甚至會從二維表面態退化到一維棱邊態或頂角處的零維點態。第二個例子，乃磁性 Skyrmion。這是實空間的拓撲準粒子，它在三維體系中表現出二維拓撲結構。而沿 Skyrmion 中心延伸出去的第三維度，只是一根平庸的柱體 / 管而已。第三個例子，是自旋或電極化組成的 vortex – antivortex?結構，其有趣的異常輸運似乎也只發生在 vortex 的 core 處 (由一維鏈狀或線狀結構組成)。Ising 最熟悉的例子，是曾經參與探索的鐵電 BiFeO_3?納米島之拓撲中心疇 (如果只看面內分布，也是一種二維疇結構)。其最有趣的性質，同樣也在疇中心處，表現為垂直于二維表面的一維導電通道。如上所列的一些圖像，顯示于圖 1 中，作為參照觀摩。

圖 1. 拓撲物態的奇異物理效應大多在降維空間中出現。

展示幾個最簡單實例：(A) 拓撲絕緣體 (左) 的金屬表面態，主要發生在樣品表面處。那里才是自旋鎖定的拓撲金屬態。外爾半金屬 (右) 的有趣性質，也多出現在表面處的費米弧處。即便是體內的一對、一對外爾點，受關注的也只是外爾點附近的高貝里曲率特征。(B) 磁性Skyrmion的三維結構，乃是管狀或柱狀體，體內二維橫截面才是實空間拓撲保護的渦旋結構。這里顯示了三根近鄰的Skyrmion管。(C) 三維體系中的 vortex – antivortex 結構，典型例子見于 K – T 相變形成的疇結構或拓撲渦旋中。很顯然，這里異常的效應只可能出現在 vortex 的 core 處，乃一根一維的 chain。(D) 筆者所在團隊于 BiFeO₃ 中觀測到的鐵電拓撲中心疇，其面外方向同樣是一柱或管，而有趣的物理效應一定出現在疇心處。

(A) Y. Sun et al, PRB 92, 115428 (2015), https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.92.115428。(B) https://is.mpg.de/news/scientists-prove-the-existence-of-skyrmion-tubes。(C) https://www.iop.cas.cn/xwzx/kydt/201310/t20131021_3960346.html。(D) from Ising’s group。

這種降維，可能導致諸多后果和奇異特性，雖然這些后果并非都是好的。其中的一類后果，是維度下降所帶來反常效應的穩定性將不盡人意。理解這一后果沒有難度，因為凝聚態物理關注的是與某一序參量相聯系的物理效應。任何序參量，必然在降維中喪失部分或者全部穩定性。舉些量子材料人熟知的例子就可明了：一維 Ising 模型沒有相變、二維各向同性磁體沒有長程序、鐵電尺寸效應顯著，等等，都是降維導致的后果。從這個意義看，拓撲物態當然是新物理、好物理，但利用其物理效應比利用傳統朗道相變帶來的物理效應要難？！

既然如此，問題就變成：一方面，物理人強調整體性質的拓撲保護，至少對不是那么強大的漲落、擾動，拓撲保護的確奇妙。另一方面，因為所關注的是降維物理效應，它們對漲落和擾動又缺乏足夠的局域穩定性 (可干脆說成缺乏足夠大的“慣性”好了，雖然整體穩定性依舊)。好吧，這兩者，于物理上的平衡點在哪里？如果關注的物理效應是降維的，物理人就可能不容易掌控這種平衡點。例如，拓撲絕緣體的表面態導電性好、對雜質散射有一定免疫效果，物理人當勉力追求之。但是，真的要得到純粹的表面態、或利用好這個表面態，并不容易，事實也的確如此！

為了從更物理的視角說明問題，不妨從幾個簡單的輸運特性來呈現這種平衡的微妙或不確定！

首先，是費米面位置。很多拓撲量子效應表現為費米面處能帶的交叉，無論是表面處亦或是體態的能帶交叉。這是半金屬量子態的基本特征，對應于 gap / gapless 特征。問題是，實際體系中不可避免會存在一些成分、結構或對稱性偏離，或存在外場干擾 (例如熱漲落就足以顯著玷污半金屬量子態)，使得能帶交叉點或偏離費米面、或出現退化而打開某種形式的能隙。目前，看不出有物理上很有效的措施或規范去約束這種偏離，使得能帶交叉總是綁定在費米面處。這是 Ising 的感受之一。

其次，是能帶線性色散關系。線性色散，代表了載流子的超高遷移率，是量子材料追逐的目標之一。狄拉克半金屬、外爾半金屬等拓撲半金屬，其引人之處即能帶交叉點附近的線性色散。同樣的問題：這一線性色散能夠在多寬波矢區間內得以維持 (線性色散區間有多寬)？圖 2 展示了幾個這樣的例子。區間寬窄同樣是影響載流子輸運的重要參數。實際材料，因為各種制備環節和品質控制的不確定性，包括載流子濃度漲落和缺陷存在，費米面處的能帶線性色散可能不再那么 robust。由此而生的材料之性能大打折扣，不是小概率事件。

再次，是載流子有效質量。量子材料的主要特征之一是電子關聯的介入，導致能帶色散扁平化，意味著載流子有效質量增大。這一特性，與很多拓撲量子材料的晶格對稱性和所包含的過渡金屬離子有顯著依賴關系，也就是存在較大變化空間。同樣，能帶的整體拓撲保護性，未必能為局域能帶特征提供足夠好的保護 (robustness)，以抵御這些漲落和變化。

圖 2. 幾種拓撲非平庸的能帶交叉點及其色散關系。可以看到，所謂的線性色散，只是在能帶交叉點附近才被滿足。偏離交叉點，包括費米面 shifting 或額外內稟及外場干擾，都可能損害線性色散處材料表現出的優異性質。

(A) 狄拉克半金屬錐；(B) 節線半金屬能帶交疊線；(C) 外爾半金屬的外爾點 (左為正常的 type – I Weyl 點附近，右為傾斜的 type – II Weyl 點附近)。

(A) A. H. Castro Neto et al, RMP 81, 109 (2009), https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.81.109。(B) S. G. Xu et al, J. Phys. Chem. C 123, 4977 (2019), https://pubs.acs.org/doi/10.1021/acs.jpcc.8b12385。(C) D. Li et al, PRB 95, 094513 (2017), https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.95.094513。

鑒于這些雖是外部引入、實際上相當于內稟漲落和缺陷擾動的物理因素，理論預言的諸多拓撲量子態，其電子結構和輸運 / 響應行為與實際材料樣品所展示的，就會存在差別。這是物理的客觀存在，必須加以考量。材料從預測的理想化物理效應，到在極端化 (如低溫強場) 和純凈化條件下 (高純樣品、典型材料) 的實驗驗證，再到實際可獲得的效應及其結構 – 性能關系，等等，是時候關注和開展相關研究了。

例如，拓撲保護下狄拉克錐附近，載流子的高遷移率和低有效質量之優勢，能否或在多大程度上能得到保持？此時，物理人已跨過了早些年“這個材料是不是拓撲量子材料”的一夫當關，變成了當下“好材料就是好材料，不佳的體系就是不佳”之丘陵山水，就如 Ising 經常穿過的大別山脈一般。

事實上，Ising 在最近一期的《量子材料》公眾號中刊發的小文《》，討論的就是針對反鐵磁拓撲材料 CuMnAs 之理論與實驗差別問題。在這篇文章中，原文作者“橫蠻地”將計算的能帶整體移動了一個“固定”的能量，即費米面位置下移約 ~ 0.4 eV，得到了與實驗觀測完全吻合的結果。如此“蠻橫”，無非是說明實驗樣品中存在比本征載流子更多的空穴載流子。此時，即便這一材料的能帶整體性質是拓撲非平庸的，但在“費米面”處的載流子輸運行為卻可能變得不同。這，顯然不是物理人希望看到的結果。或者說，對化合物 CuMnAs，降維的拓撲效應與其應對漲落擾動的穩定性之間，沒有維持住足夠好的平衡。

類似的擔憂，不是個別的。對各種各樣的拓撲量子材料，如果關注費米面附近的能帶結構及輸運，則實際樣品中任何內稟漲落和外部擾動，一定程度上會變成“致命的 (detrimental)”。這里，再從一個不大一樣的角度展示一個類似的實例。

來自米國布魯克海文國家實驗室的量子材料知名學者 Cedomir Petrovic 博士，領導了一個國際合作團隊，似乎關注到此類問題。過去一段時日，Petrovic 博士他們聯合目前在中國科學院物理研究所和中國人民大學、米國 University of Delaware 和 Florida State University、瑞士 Universit?t Zürich 等知名科研機構的合作者，針對已被關注多年的三維 3D Dirac 半金屬化合物 SrAgBi 開展了相關驗證。

熟悉材料制備科學的讀者一看就知曉，這一空間群為 P6₃/mmc、六角結構的化合物，包含 Ag 和 Bi 兩個易揮發元素。理論預言 SrAgBi 的所有拓撲性質，可能都需要與這些元素的缺失聯系起來。

基于這一現狀，Petrovic 博士他們于 2023 年在《npj QM》刊發了一篇相關文章，展示出 SrAgBi 這一化合物的拓撲量子性質對成分缺失具有很強的 robustness，令人印象深刻。這一定程度上說明，該化合物還真是不錯的拓撲量子材料。部分結果展示于圖 3 中。

圖 3. Petrovic 博士團隊針對 SrAgBi 體系的能帶結構第一性原理計算結果 (A) 和 ARPES 譜學測量結果 (B)。其中 (B) 的左側顯示 (001) 面之費米面處 ARPES 譜強度分布 (紅色六邊形表述布里淵區邊界)；右側所示則是左圖綠色實線處的能帶結構 ARPES 譜。垂直虛線顯示高對稱點 (Γ、M、Γ)，而這些對稱點上的能帶底與費米面 E_F差距約 0.15 eV。

Ising 對此領域并不熟悉，就再一次上演囫圇吞棗的把戲，開始速成輸出讀書心得：

(1) 大約十年前的計算就預言，這一體系 (Sr²⁺Ag¹⁺Bi^3?)?的?3D 狄拉克點，本來就位于費米面以上 ~ 0.1 eV 處 (沿 Γ – A 方向)。費米面處的載流子主要來自于 M 點附近的電子口袋貢獻。所謂的 3D 狄拉克半金屬態，產生于導帶和價帶的交疊。

(2) 這一體系的六角蜂窩結構具有三重鏡面對稱，因此出現 nodal loop 很正常。由此，能帶結構展示出由這些 nodal loops 構成的類“楊桃”一般的五重對稱性特征 (starfruit – like)。正因為如此，體系的自旋 – 軌道耦合 (SOC，Bi 離子應可貢獻一定的 SOC) 會打開能隙，形成一對所謂的 type – II 狄拉克點，如圖 3(A) 所示。也有相關工作，討論其中某支能帶的非線性色散特征。將這一量子態歸類為所謂的 type – IV 狄拉克費米子應該合理，雖然附近就有 type – II 狄拉克點。不過，這些預言的細節在本科普小文中不那么重要，Petrovic 博士他們有直接的實驗觀測數據。

(3) Petrovic 博士似乎竭盡所能，動用他們能 access 的諸多實驗手段展開測量，特別關注成分和缺陷分析及能帶結構表征。他們獲得了高質量的單晶樣品，獲得了超高分辨的單晶 XRD 數據和結構解析結果。他們也采用超高真空下的先進 XPS 技術，以準確確定單晶樣品中各離子價態與變價比例。他們還利用高磁場下的電輸運 (包括霍爾輸運) 測量，基于量子振蕩輸運數據，構建出費米面。與此同時，他們更利用角分辨光電子能譜 (ARPES)，以解構費米面附近的精細能帶。當然，高精度的第一性原理計算是量子材料人的必備技術，對他們也是如此。

(4) 結合所有這些表征結果和計算數據，他們以多視角相互印證，得到了一些可靠性較高的結論，包括：

(i) 從幾個元素價態平衡角度看，名義價態 Sr²⁺Ag¹⁺Bi^3??看起來是值得疑問的。畢竟，三個組成元素中 Bi 的電負性并不那么典型。要實現“純粹的”Bi^3-價態，不那么令人信服，從而給晶格結構占位表征帶來一些不確定性。他們的實驗顯示，即便 EDS 給出了 Sr / Ag / Bi ~ 31 / 34 / 34 的元素組成 (EDS 測量化學組成存在很大誤差)，但結構解析給出的是每 12 個 Ag 離子占位中有一個占位是空的，即存在“嚴重的”Ag 空位缺陷。

(ii) 計算顯示，電子結構的確沿 Γ – A 方向有狄拉克點，位于費米面以上 ~ 0.08 eV?處，與早期的工作一致。

(iii) 基于量子輸運測量的數據構建的費米面能帶結構，與第一性原理計算結果和 ARPES 精細觀測結果大致相符，即便樣品存在很高的 Ag 位空位缺陷。注意到，計算所得能帶結構需下移約 ~ 0.15 eV，方能與 ARPES 結果保持定量一致。這一差距，看起來大了一點，可顯著降低狄拉克費米子輸運的品質。

(iv) 實測和計算數據揭示出，SrAgBi 的確是較為典型的 3D 狄拉克半金屬特征，具有良好定義的 type – II 狄拉克節點 (nodal)，澄清了計算預測之間的若干不一致處。不過，這里的樣品，內稟上是空穴摻雜型的。要將 ARPES 觀測到的能帶，與計算所得的費米面比較，需要后者下移費米面方能獲得計算 – 實驗相一致的結果。

Petrovic 團隊的這一工作顯示，SrAgBi 是一良好的 3D 狄拉克半金屬 (3D type – II Dirac semimetal)，至少在狄拉克點附近處的電子具有高遷移率和低有效質量。這是繼《npj QM》刊發了針對 CuMnAs 這一拓撲量子化合物的相關研究后的又一個類似體系。對它們，計算預測與實驗探測的能帶結構，在定量上存在較大差別。物理上，需要補償空穴摻雜引起的能帶 shifting，方能將狄拉克點移到費米面處。

針對這兩種化合物的研究，暗示了狄拉克半金屬的調控還存在不小挑戰：物理人總需要厘清理論計算和實驗測量之間的差距真的來源于缺陷抑或是計算本身存在缺失？如何彌合這一差距，應該是當下和未來一段時間相關研究需要面對的課題。在走向實際應用之路上，我們總不能對每個材料都一一進行甄別和調控。目前的局面，正如泰戈爾所吟唱的“最遙遠的距離”那般，這里的 SrAgBi 和 CuMnAs 中最遙遠的距離，只是能帶計算與測量間的 ~ 0.15 eV?或是?0.39?eV？亦或是計算與測量結果之間被掘了一條無法跨越的溝渠？^_^。阿門！

雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Robust three-dimensional type-II Dirac semimetal state in SrAgBi

Zhixiang Hu, Junze Deng, Hang Li, Michael O. Ogunbunmi, Xiao Tong, Qi Wang, David Graf, Wojciech Radoslaw Pude?ko, Yu Liu, Hechang Lei, Svilen Bobev, Milan Radovic, Zhijun Wang & Cedomir Petrovic

npj Quantum Materials 8, Article number: 20 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00549-8