人類對自然世界的認知，甚至對人類自身社會活動的認知，當然是高級的哲學問題。對于 Ising 這種處于底層的學人而言，既無可能去觸及、亦無足夠高度去觸及這些高深道理。不過，如果一定要對如此認知做一些讓行家恥笑的搬弄是非，其實也挺好玩的。正因為觀點顯得無知，就更會有那種“一忽兒”的趣味。例如，Ising 認為西方自然科學的認知乃從最簡單的“黑 / 白”、“是 / 否”、“0 / 1”這樣的二元兩態分類開始。人類許多努力和事業，都是為了將這 0 / 1 兩態的每一態都整得穩穩當當、厚厚實實。注意，本文中“0 / 1”兩態是廣義的、非局限于物理上的兩簡并態，更多表達的是某個物態或功能的左右兩個極端。東方的認知，則更多具有哲學思辨的意義，顯得高大上而缺乏扎實根底：雖然也強調“黑 / 白”、“是 / 否”，但更多是強調中間的混合態，即“中庸化”或邊界不清、純度不高的“是非”與“黑白”。

這些認知的不同，讓自然科學在東西方發展的時空軌跡有很大不同。西方自然科學看起來因為這種二元論劃分而具有明確的邏輯意義。二元論易于進行推理、分類和數學描述，也就衍生出了當代自然科學的基本認知，其成就無與倫比。而在東方，則強調連續和模糊的“辯證法”模式，強調整體和利益最大化取舍 (例如追求 1 + 1 >> 2)，諸如此類，可稱為“中庸化”。這種中庸，雖然未必“無與倫比”，但也算功效卓著。

此番論調，當然只是淺薄感受，當不得真的。自然科學的邏輯思維，讓人類有了定義、分類、規范與一對一的因果關系認知。物理學有四大基本作用力，有電和磁，有物質的層級構造和承上啟下，有金屬態和絕緣態，如此等等。這些邏輯之概念清晰嚴格、內涵外延清澄、規律嚴謹完備。數學有維度、二進制、整數 / 實數，如此這般。這些認知雖難以一一列舉，但每一層次都示性清晰、環環相扣。如此概念清晰、目標明確的問題，其解答過程或答案，也會簡明扼要、明確無誤，讓人們在日常昏昏耗耗之余感受到簡潔、明確、環環相扣對應。人們對自然科學，特別是對物理學和數學的內涵與表達一直仰望有加、敬佩無窮，是有原因的。

圖 1. 筆者心目中所謂的 0 / 1 兩態分類邏輯，及對“中庸化”的理解。

(A) 西方哲學和社會學者認知世界的粗暴表達：黑與白、是與非、美與丑 (when everyone in the world sees beauty, Then ugly exists. When everyone sees good, Then bad exists.)。(B) 中庸化逐漸將黑白混合雜化為各自帶有對方色彩的混合式：不那么黑、不那么白。(C) 東方的所謂太極八卦表達：黑白之間既有區分、亦可和諧糾結在一起？

(A) from https://thedailyzen.org/2017/10/30/understanding-dualism/。

真實的自然學科圖景，當然未必如此。即便學科始創之初是如此，演化到當下科學前沿后，圖景也有了許多變化，出現了繁雜和多層面交叉混同。科學人美其名曰“學科交叉”、“知識集成”。到了今天，知識的面貌越來越復雜、越來越糾纏，已發展到靠人腦已難以掌控而不得不訴諸“人工智能”和“機器主宰”。這是調侃、是夸張，但也大致如此。

舉些 Ising 比較熟悉而自以為是的例子。

(1) 二進制兩態存儲。數學和信息科學中，二進制應是最 NB 的計算規則，也是影響自然科學思維最深刻的表達。圖 2(A) 顯示一個例子。諸如 0 是 yes、1 是 no，無是 0、有是 1，黑是 0、白是 1，空是 0、滿是 1，都是如此。有了這樣的表達賦值，二進制就能無往而不勝，其普適性和無處不在的霸主之位無人置疑。即便是物理學用來表達功能的兩態信息存儲，也是基于二進制的衍生，最典型的表達就是兩態 Ising 模型。也正因為這種兩態存儲的觀念，馮 ? 諾依曼架構也就得面對今天的存算分離和存儲墻問題。隨著所謂神經形態和類腦計算概念的發展，二進制逐漸被模糊，正在被多態和模擬信號等新的存算一體化理念部分取代 (能不能真的取代之尚無定論)。這是“中庸化”吧？

(2) 金屬還是絕緣體。凝聚態物理中，這是一個能帶問題，也即是否導電的問題。無帶隙即金屬，有帶隙即絕緣體，半導體也大都是帶隙不小的絕緣體。圖 2(B) 顯示其中圖景。早先的物理人，無論是提出概念、發展理論、預測和研發材料，都不大去考慮那些帶隙很小的體系，而是要么取大帶隙的絕緣體做鐵電、光電和光學之用，要么取無帶隙的金屬做導電之用。金屬和絕緣體，在凝聚態分類中也就是0 / 1 兩態。后來，磁性介入、超導介入、熱電介入，那些小帶隙的固體紛紛登場，給原本簡單明了的 0 / 1 兩態分類帶來中間狀態。這是“中庸化”吧？

(3) more is different。這是安德森那個著名的“演生”問題，原本是老先生因“負氣”挑戰“因果還原論”而提出的、火藥味很濃的凝聚態物理宣言。原本的認知是：在物質世界組成的若干個層次中，上一尺度 (大尺度) 物態的某一 0 / 1 性質，必定是下一尺度 (小尺度) 許多個物態的某一 0 / 1 性質集合而成。求解這個集合，就能得到上一尺度的如此 0 / 1 性質。安德森說不是這樣，這上一尺度物態有它自己新生的、下一層次集合原本無法賦予的新性質。圖 2(C) 顯示的乃是一個物態，經過大粒子集合后可呈現新的不同物態 (氦超流)。這應該是 1 + 1 > 2的邏輯、是“中庸化”吧？

(4) 磁電耦合。這是 Ising 虛委半生的領域，雖然只有學習的份。這里的“磁”和“電”分別表達“鐵磁性”和“鐵電性”，它們原本互斥、互不干擾，如圖 2(D) 所示。好的電，必然是遠離磁，越遠越好，反之亦然。現在要將它們耦合在一起，希望實現“要風得風、要雨得雨”。雖然實際上難以逃脫“微風細雨”的窘境，但畢竟也算風雨兼得。這也是“中庸化”的一種模式。

(5) 超導電性。將“超導”這一大物理拿來做 0 / 1 調侃對象，雖然不大合適，但卻也與本文主題相得益彰。超導的主題是電子配對。兩個自旋相反、動量相反的電子，于空間通過聲子聯系 (電 – 聲子耦合)，組成一個庫珀對玻色子。大量玻色子相干凝聚，形成超流態而超導，這是 BCS 單態電子配對超導機制，即常規超導機制。這一機制排斥磁性、拒絕電子強關聯，是 0 / 1 的一個極端。另一方面，磁性或電子關聯介入，可能引入自旋漲落配對機制之類，可能得以支撐銅基、鐵基、重費米子、鎳基等非常規超導電性，是 0 / 1 的另一個極端。圖 2(F1) / (F2) 所畫乃這兩個極端的一種簡單示意。需要指出，非常規超導因為磁性和電子關聯，通常伴隨諸多新的量子態，如電荷密度波 ?CDW、配對密度波 PDW、自旋密度波 SDW、向列 nematic 相、手性自旋態等。非常規超導研究，正在付出巨大努力，揭露這些伴隨量子態的真面目，以窺視它們與非常規超導態之間如何才能“度盡劫波兄弟在”。

圖 2. 筆者自以為是編輯的幾個所謂“兩態”實例。

(A) 數學上的二進制，可用來表達、承載和運算所有信息、且只有“0 / 1”兩態組合即可，但不能說僅僅只有 0 / 1。這是偉大的成就。(B) 固體能帶理論中價帶和導帶都占據一定能量區間，但物理人認為費米能處有載流子就是金屬，沒有就是絕緣體。(C) 用 He³ / He⁴ 的超流特性來表示 more is different，不算無理。粒子的集合，可演生新的物理，而此物理非離子相互作用能推演出來。(D) 磁電耦合 (靜態) 在麥克斯韋方程中是不可能的，要么電、要么磁。特定的磁或電組合，卻可以得到一個不錯的“中庸態”。(F1) 電 – 聲子耦合導致庫珀電子配對，自旋單態是前提。(F2) 自旋漲落導致電子庫珀配對，無需電 – 聲子耦合介入。這里，有沒有某個“中庸態”可以左右逢源？量子材料人相信有！

(A) https://www.electrical4u.com/binary-number-system-binary-to-decimal-and-decimal-to-binary-conversion/。(B) https://www.jove.com/v/11357/band-theory。(C) https://www.scphys.kyoto-u.ac.jp/research/group/physics-1_english/t4-1.shtml。(F1/F2) J. Hwang, SR 11, 11668 (2021), https://www.nature.com/articles/s41598-021-91163-w。

這里堆砌的每個例子，都以“中庸化”關鍵詞結尾。事實上，審視一番，可看到這些“中庸化”的手法，似乎就是將 0 / 1 兩個極端態的穩定性削弱一些，以求給“中庸化”一些拋頭露面的機會。從能量角度看，穩定性來源于深勢阱，操控之就需要較大能量，即所謂的大能標過程。壓制這些大能標過程，即部分填充勢阱，即可顯著壓制 0 / 1 兩端，中庸的小能標們就可以登場了。

如上鋪墊，絮絮叨叨，無非是為了渲染本文要觸及的、超導電性的一個前言研究方向，即 kagome 籠目金屬化合物 AV₃Sb_5?(A = K, Cs, Rb) 及其中的超導電性。過去一段時日，Ising 下筆寫過幾篇關于這一體系的讀書筆記，如《》、《》、《》。寫作下來，深感一篇比一篇迷糊和“中庸化”。其中的物理考量和令人意外的后果，感興趣的讀者可點擊御覽。大致的物理思路是：其一，kagome 籠目晶格是一類準二維的、平移對稱性低的結構，很像雙層魔角石墨烯構造的 Moire 晶格，能壓制載流子動能項，顯著平帶化能帶。其二，這類體系，不含磁性離子，電子關聯也弱。如此，諸如銅基超導那般通過自旋漲落實現庫珀配對的可能性不大。

也即是說，超導物理中常規超導的 0 和非常規超導的 1，在 AV₃Sb_5?這里似乎都是“有勁使不上”的模樣。于此，“中庸化”就可登場了！果然，過去幾年，對這類 kagome 籠目化合物的探索，展示出這類體系的獨特性和“中庸化”特征，令人印象深刻，如圖 3 所示：

(1) 平帶化明顯，有狄拉克點和 van Hove 點，和魔角石墨烯很像，是 kagome 晶格的做派。載流子動能被壓制，意味著這是一類關聯體系，而且還攜帶拓撲表面態。

(2) 多種表征證明，超導電性乃是 s 波常規超導，看起來是很典型的 BCS 物理。

(3) 多個相變，包括從高溫無序相到 CDW，再到 nematic 相，最后是低溫下的超導相 (s 波超導)，又展示了類非常規超導做派的一系列特征。

第 (1) 點和第 (2) 點，顯示這里的超導電性，分別有 0 / 1 兩個極端的特征。第 (3) 點則顯示非常規超導的那些伴隨特征，與 Ising 的“中庸化”謬論相符。至此，讀者應能理解，為什么超導物理人不放過這個 kagome 金屬體系 AV₃Sb₅。畢竟，這樣好的“中庸化”平臺，實在不多見！

圖 3. 有關 kagome 結構化合物 CsV₃Sb₅ 的一些基本知識點。

(A)晶體結構的 ab面俯視圖示意，顯示有 V / Sb 組合構成的 kagome結構。(B) 晶體結構及其參數 (a) 和能帶結構主要特征 (平帶、拓撲狄拉克點和 van Hove 奇點) (b)。(C) 溫度軸上的相變標記，包括 CDW 相變點 T_CDW、nematic 向列相變點 Tnem 和低溫超導轉變 T_SC。(D) (a) 定性描繪的相圖，顯示高溫區 CDW 隨等靜壓變化的演化進程。(b) 相干庫珀對和非相干庫珀對的配對模式。(c) 幾類超導體之超導轉變溫度與磁穿透深度平方的依賴關系。(d) 兩種 CDW 構型，一種是 2 × 2，一種是 1 × 4。這些結果顯示，將 s 波常規超導與非常規超導的物理特征，各取部分來進行“中庸化”，就是這 kagome 物理。

(A) https://english.hf.cas.cn/nr/rn/202111/t20211129_293208.html。(B) / (C) 奉熙林等，《物理學報》71, 118103 (2022), https://wulixb.iphy.ac.cn/article/doi/10.7498/aps.71.20220891。(D) J. X. Yin, Science Bull. 68, 568 (2023), https://doi.org/10.1016/j.scib.2023.02.035。

來自中國科學院物理研究所周睿老師、高鴻鈞老師等，與日本岡山大學 ?(Okayama University) 鄭國慶老師 (Guo-qing Zheng) 及北京師范大學的合作者一起，對 kagome 籠目金屬 CsV₃Sb₅中 CDW?與超導電性開展了探索工作。在以國內有生力量為主的高強度投入背景下，這類體系中的 CDW 已被廣泛關注，包括幾個重要的動機：

(1) 一般而言，CDW 被認為是電 – 聲子耦合的結果，因此與 BCS 的庫珀對同源。它們之間是競爭對手，從知己知彼角度亦需要關注 CDW 物理。

(2) 一般非磁性體系，CDW 相不會破壞時間反演對稱性。但是，這類體系的 CDW 破壞了時間反演對稱。物理所的胡江平老師他們，認為這一特性源于軌道磁矩的某種手性交替排列結構。這一新的特征是否影響低溫區電子配對，尚未可知。

(3) CDW 相變溫度較高，而超導轉變溫度低很多，中間溫區還存在打破了 kagome 點陣的 C6 對稱性的 nematic 向列相。如此兩重對稱的調制結構，作用何為，尚未明了。

深入而全面理解籠目金屬 CsV₃Sb_5?中 CDW 的結構、相變行為，看起來很必要。過去數十年，超導物理人歷經高溫超導的風花雪月，也歷經追尋超導機制的萬水千山，得到很多經驗教訓。其中一條經驗是：非常規超導電性或超導相，總是與另外某個有序量子相相聯系。它們此起彼伏，通過一個量子臨界點 QCP 完成相互轉換。通過外場或內稟參量，操控 CDW 產生或湮滅，揭示這一 QCP，也是不錯的課題。

周睿 / 鄭國慶 / 高鴻鈞老師他們選擇用壓力操控 CDW 的演化。這是超導研究的標準方法，同行也已開展了此類研究。壓力調制 CDW 歸隱于 QCP、進而誘發或操控超導電性，亦不是新觀點。事實上，對 CsV₃Sb_5?中的 CDW，已有工作揭示靜水壓會壓制 CDW，伴隨超導轉變溫度提高。周老師這一工作的特別之處，在于利用了核磁共振譜學 NMR 中的核四偶極共振譜 (nuclear quadrupole resonance, NQR) 來探測 CDW 相。

一般讀者常讀到 NMR 探測量子材料的工作，但相對較少聽說 NQR 這一探測方法及其背后的原理。對 Ising 亦是如此：NQR 乃新事物一枚。據文獻，NQR 乃利用原子核普遍存在的電荷四偶極子對局域電場梯度的共振響應 (偶極子能級有其對應的共振頻率，大約在 MHz 量級)，來精確探測原子核周圍的空間電場 (梯度) 分布，從而反推其周圍的電子結構。很顯然，CDW 乃電荷密度波，也即電荷密度在空間呈現梯度調制。因此，NQR 是探測 CDW 局域結構畸變的最好方法之一，雖然它的運用要求有很高的數據解譜技巧。

有意思的是，CsV₃Sb_5?中的 Sb 同位素 ¹²¹Sb / ¹²³Sb，一共有至少十條 NQR 譜線。一一探測之，便能精確解構 CDW 在靜水壓下的結構畸變細節。對相關技術細節，Ising 在此就不班門弄斧了，感興趣讀者可參閱周老師他們不久前刊登在《npj QM》上的原始論文。Ising 按照自己理解，highlight 幾點主要結果，并取來部分數據集成于圖 4 中：

(1) 同行的 NMR 已揭示出，隨壓力增加，CDW 會從常態下公度的 star – of – David (SoD)?結構，演化為類條紋相?(4a₀ 波長調制)。周睿他們則解構出 CDW 會從 SoD 形態的公度相，逐漸演化為一種復雜形貌的非公度過渡相。所謂形貌復雜，指其由 SoD 結構單元與所謂的三角 – 六角交替排列 (tri-hexagonal, TrH)?結構單元沿 c 軸方向堆疊而成，如圖 4(B) 所示。如此復雜的結構，能被解構出來，顯示了作者的非凡功力。

(2) 即便是在靜水壓下 CDW 會不穩定，但短程 CDW 漲落依然存在，并一直延續到常壓 CDW 之相變溫度處。此處可見 CDW 是何等“威武不能屈”。此等堅強，對超導電子配對未必有利？

(3) 在壓力達到 ~ 1.9 GPa 時，體系的確展現出類 QCP 特征，而此時體系的超導溫度也最高。這種對應，再一次顯示出 CDW 與超導電性之間的競爭，也昭示了 QCP 的作用。

(4) 高壓下 NQR 數據也昭示，體系存在有較強的自旋漲落，雖然 CsV₃Sb_5?不含磁性離子。這一結果，可能與軌道磁矩的貢獻有關，顯示軌道磁性不可小覷，也暗示有非常規超導的萍蹤俠影。看起來，自旋漲落的存在，似乎合理解釋了?QCP?之上超導電性依然沒有消亡的實驗觀測。

圖 4. (A) 不同靜水壓、不同溫度下 ¹²¹Sb_1?(藍線) 和 ¹²¹Sb_2?(紅線) 對應的 NQR 測量譜。(B) SoD 單元與 TrH 單元混合形成 CDW?相的結構示意圖。NQR 譜擬合結果也呈現于其中。(C) 從 NQR 譜解構而得的相圖，顯示類量子臨界點 QCP 出現在壓力為 ~ 1.9 GPa 附近。詳細描述請見周睿老師他們的原文。

周老師他們的工作，在前人基礎上，將等靜壓下 kagome 化合物 CsV₃Sb_5?中的 CDW 結構演化細節展示得更為淋漓盡致，殊為可貴。這類 kagome 金屬中不但存在原本多在非常規超導中出現的諸多量子態，而且與超導電性競爭，雖然這里的超導電性竟然是常規 s 波一族。或者說，立足“中庸化”而不是“黑白分明”的認知，物理人在這類材料中看到了更多未知、理解了更多未知、感受到更多豐富多彩。

當然，在這類“正常?s?波”超導體中，要出現超乎尋常的高溫超導電性，看起來不那么樂觀。只是，常規超導與非常規超導之間的 gap，并非虛無縹緲，而是多有隱于云霧之中的重崖疊嶂。能夠深入其中，窺得一番風景，也是量子材料人的樂趣。

雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Commensurate-to-incommensurate ?transition of charge-density-wave order and a possible quantum critical point? in pressurized kagome metal CsV₃Sb₅

X. Y. Feng, Z. Zhao, J. Luo, J. Yang, A. F. Fang, H. T. Yang, H. J. Gao, R. Zhou & Guo-qing Zheng

npj Quantum Materials 8, Article ?number: 23 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00555-w

Kagome?量子材料的專輯：

Ordered States ?in Kagome Metals

Guest Editors: Stephen Wilson, Joseph ?Checkelsky, Ziqiang Wang, Satoru Nakatsuji

https://www.nature.com/collections/bfiebceiic

備注：

(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》編輯。

(2) 小文標題“ Kagome是黑白還是中庸”乃感性言辭，不是物理上嚴謹的說法。這里只是表達?CsV₃Sb_5?及類似的?kagome?籠目非磁化合物超導似乎就是?s?波超導，但伴隨超導的那些?CDW、nematic?和?van Hove?奇異性、PDW?等量子態，又都是非常規超導物理的元素。到底是?s?波還是非常規？這里告知我們沒必要去那么黑白劃分。或者說，物理人迎來了一種“中庸”的超導物理。

(3)?文底圖片來自于磁湖岸邊 (20230214)。有梅花初開，其形態若 star of David 的?CDW?形態。小詞?(20230130)?原本寫別故鄉、下金陵之行，有春意暗動之感。此處無非是表達在?kagome metal?這一類新體系中探索超導春意的想象。

(4) 封面圖片顯示了?kagome-CsV₃Sb_5?晶格的三種結構?(nematic, star-of-David, normal kagome)?及?NQR?譜學原理圖 (來自?http://peachgeranium.cocolog-nifty.com/blog/2012/11/nuclear-quadrup.html)。