（由Millennium模擬的宇宙中暗物質在當今時代的分布）

歐洲航天局計劃于今年春天發射歐幾里得空間天文臺，目的是揭示宇宙膨脹，星系、星系團和大尺度結構的形成。為了實現這一目標，歐幾里得的儀器將確定數百萬個宇宙天體的3D位置。然而充分利用這些豐富的信息需要巨大的計算資源，因此需要新的方法從觀測中挖掘天體物理學和宇宙學的新見解。為了實現這一目標，普林斯頓大學的Salvatore Torquato和哥倫比亞大學的Oliver Philcox提出了一種分析宇宙結構的新方法，該方法借鑒了在無序材料中應用的分析技術[1]。

Torquato研究領域是統計力學和軟凝聚態物質，而Philcox是宇宙學家。兩人于2021年秋天開始合作，當時Torquato聽了Philcox在新澤西州普林斯頓高等研究院關于星系分布的演講。這次談話引起了Torquato的好奇心，他想知道他在無序異質材料中提出的理論和計算思想是否可以有效地應用于描述星系分布的結構和拓撲。

觀測宇宙學使用許多統計工具，比如兩點關聯函數。這個參數的意義是找到一定距離隔開星系對的概率，這超越了對均勻隨機分布的星系的預期。Torquato和Philcox引入了附加的統計方法和概念，這對宇宙學來說是新的，并補充了兩點關聯函數，其中包括超均勻性函數和對連接函數。

為了評估他們的方法的有效性，兩人避免用真實的數據進行測試，比如來自斯隆數字巡天或其他觀測調查的數據，因為這些數據帶有系統性的偏差使得分析復雜化。相反，他們轉向了quijote，這是一套由45,000個n體模擬組成的可免費使用套件，以用于訓練和測試機器學習算法。Torquato和Philcox使用了特定的Quijote模擬追蹤了一個邊長為30億光年的立方體中10⁵個暗物質暈的形成。由于暗物質比重子物質多5倍以上，星系形成于暗物質暈中，因此宇宙結構在最大尺度上到單獨星系的演化可以通過建立暗物質模型來近似。

在1千萬到1億光年的尺度上，星系聚集在空隙之間蜿蜒的絲狀網絡中。

這種集合看起來像肥皂泡的泡沫——也就是說，一種無序的介質。在更大的尺度上，宇宙變得均勻和各向同性。Torquato和Philcox描述了這種從塊狀介質到均勻介質的轉變，天文學家稱之為“偉大的終結”，他們方法中的統計量之一是超均勻性。他們二人表明，超均勻性提供了跨越長度尺度的宇宙學結構的統一描述，捕捉了大尺度的均勻性和小尺度的異質性。這一發現為使用星系調查這種結構轉變的起源開辟了前景，而這種結構轉變與宇宙暴漲期間留下的原始密度波動有關。

在較小的尺度上，天文學家面臨的挑戰是如何從調查中有效地提取星系最重要的特征。這種提取通常是用兩點關聯函數來完成的，雖然這在計算上很簡單，但遺漏了一些細節。另一方面，三點關聯函數對小尺度細節更敏感，但其計算要求非常高。Torquato和Philcox發現他們的統計量之一，對連接函數，捕獲了與三點關聯函數一樣多細節的同時降低了計算成本。

意大利國際高等研究學院(SISSA)的Matteo Biagetti正在開發一種稱為持續同調（persistent homology）的方法。在精神上與Torquato和Philcox相似，他的方法是在離散的點集中識別拓撲特征。“對于觀測宇宙學來說，這是令人興奮的時刻，”Biagetti表示，“Torquato和Philcox的發現有力地表明，研究人員應該投入時間和精力進一步發展新的統計方法，來有效地分析觀測所獲得的大量數據”。

[1] O. H. E. Philcox and S. Torquato, “Disordered heterogeneous Universe: Galaxy distribution and clustering across length scales,” Phys. Rev. X 13, 011038 (2023).